Fart og akselerasjon

Dette innlegget har allerede blitt vist 134262 ganger!

Bevegelse

Bevegelse er den aller mest grunnleggende beskrivelse av verden. Dette sammen med krefter og energi. Det at noe beveger seg, betyr at den er på forskjellige steder til forskjellige tider. Hastigheten avhenger av hvor langt du beveger deg i et tidsrom. Akselerasjon beskriver hvordan farten endrer seg innenfor et tidsrom.

Fart og strekning

Hvis du drar en gitt strekning, s, på en gitt tid, t, så kan du finne farten v. Dette gjøres med formelen: vst
Som jeg innledet med, så er fart lik hvor langt noe beveger seg per tidsenhet. Benevningen på fart er da passende nok benevningen for strekningen/benevningen til tida. For eksempel m/s, hvis man måler i meter og sekunder.
Eksempel:
En person går 1000 meter på 200 sekunder, da får vi:
Eks1

Som du ser stemmer benevningen, og personen beveger seg 5 meter per sekund, eller m/s. Hvis vi vil finne strekningen bare fikser vi litt på formelen og får:
svt
Da får vi at strekning er lik fart ganger tid. Igjen kan vi teste om det stemmer ved å se på benevningen, når vi antar at farta er i meter per sekund og tida er i sekunder:
svt
Siden meter er en fornuftig benevning på strekning antar vi at den er riktig.
Eksempel:
En person jogger i 10 m/s i 10 sekunder, hvor langt kommer han?
Bruker formelen og får 10 m/s * 10 s er lik 100 meter.

Merk at vi kun kan bruke denne formelen når farten er konstant, eller når vi nøyer oss med gjennomsnittsfarten.

En morsom, og etter hvert veldig nyttig måte å regne ut strekningen på er slik:fartsgraf
Først setter man opp en farts-graf, med tida på førsteaksen og hastigheten på andreaksen. Det fine er at siden strekning er lik hastighet * tid, kan vi se at strekning er også lik arealet under kurven. Dette gjelder også der hvor farten ikke er konstant.

Når farten varierer hele tiden, så kan vi være interessert i å finne farta i hvilket som helst tidspunkt. For å finne farten kan vi måle en liten strekning, og ta tiden for denne strekningen hvor som helst. Hvis vi tar for oss en ting som faller, så vil jo farten øke hele tiden. Hvis denne tingen, si en maiskolbe, faller fra en meter, og du måler tiden fra du slipper den, til den treffer bakken 0,45 sekunder senere, og regner ut farten utifra det. Da vil du få at den er lik 2,22 m/s. Men dette er kun gjennomsnittsfarten for hele fallet, og sier oss ikke mye om hva farta er underveis. Men hva hvis vi måler en mindre strekning av meteren? Denne avstanden kaller vi delta s. Delta står for differanse, eller forskjell. Da får vi også en delta t, for tida. Vi kan regne farta på nytt, og få et bedre svar på hva farta er underveis. Men i den strekningen vi vil måle, så vil farta allikevel endre seg, så svaret vil bli litt feil og litt høyere enn den faktiske farta. Men om vi drar det enda lengre, og lar delta t gå mot null, så vil vi ha en maiskolbe som beveger seg en veldig liten delta s, på en enda mindre delta t. Denne tenkemåten kjenner vi igjen fra matematikken og derivasjon. Derivasjon går ut på å finne stigningstallet til en kurve i et hvilket som helst punkt. Ut i fra dette kan vi slutte at farta er lik den deriverte av tida. Dette vil kun funke i praksis om du har en funksjon å derivere, i form av y=3x+3, eller tilsvarende andre og tredjegradfunksjoner. I eksempelet y=3x+3 vil y’=3. Her så er farten konstant, men hvis du har en andregradfunksjon, så vil farten endre seg med tiden. Slike funksjoner har du sjeldent i praksis, hvor du må bare prøve å få delta s så liten som mulig.

Akselerasjon

Akselerasjon er for fart som fart er for strekning. Hvis et objekt har en fart så vil strekningen øke tilsvarende farten. Hvis et objekt akselererer, så vil farten øke tilsvarende. Akselerasjon er altså fartsendring, slik som fart er strekningsendring, hvis man ser litt velvillig på det. Akselerasjon kan både være positiv og negativ, ettersom farten øker og minker. Benevningen til akselerasjon er:
asdf
Dette kan ved første øyekast se litt ulogisk ut. Sekund i annen? Men vi kan tenke oss at akselerasjon er meter per sekund per sekund, eller:
asda
Som kan tolkes som at farten øker med m/s per sekund. Så hvis a er 2 meter per sekund per sekund, så vil farta etter et sekund ha økt med 2  m/s. Etter to sekunder, 4 m/s.

Hvis vi vil regne ut akselerasjonen kan vi sammenligne med å regne ut fart. Fart er endring av strekning per tidsenhet. Akselerasjon er endring av fart per tid. Så ve ender opp med formelen for gjennomsnittsakselerasjon:
akselerasjon
Trekanten før v og t er tegnet for delta. V,null og t,null er startfarta og starttida når du starter å måle. Denne formelen er kun nyttig når akselerasjonen er konstant, noe den ikke alltid er. Hvis vi vil finne akselerasjonen på en hvilken som helst tid så kan vi finne den ved å derivere uttrykket for farta, slik vi først gjorde med strekningen. Altså a = v’ = s».

Som du kanskje ser, så er det ikke så nyttig å kunne derivere seg fram til fart og akselerasjon, siden du sjeldent har noe å derivere, men det er nyttig å skjønne prinsippet.

Bevegelsesformlene

Hvis vi trenger en mer praktisk måte å regne ut fart eller akselerasjon eller en annen variabel, og kjenner noen andre, så kan vi bruke én av fire bevegelsesformler. I hver av formlene må vi vite alle variablene, unntatt én.

Fartsformelen

Når akselerasjonen er konstant så vi at vi kunne bruke formelen:
akselerasjon
Vi forenkler litt og sier:
asd
Dette fordi vi sier at vi starter tidtakningen når farten er lik v,null og da er t,null lik null og t-null er lik t. Så ganger vi med t på begge sider og lar v stå alene, og får:
as
Etter tiden t er farten lik v og v,null er startfarten. Dette er den første formelen.

Veiformel 1

Når akselerasjonen er konstant, er fartsgrafen en rett linje. Da blir gjennomsnittsfarten i et tidsrom lik snittet av start- og sluttfarten:
asdx
Da finner vi strekningen ved å gange med tiden t, som vanlig:
asdv
Dette er den andre formelen.

Veiformel 2

Hvis vi kombinerer fartsformelen med veiformel 1, så får vi vieformel 2. Dette gjør vi ved å sette v = v,null + at:
asdfg
Så vi ender opp med at:
asdfvc
Dette er den tredje formelen.

Den tidløse formelen

Noen ganger vet man ikke tiden, og man er ikke interessert i å finne den heller. Da kan det være lurt å ha en formel som ikke har tid som en variabel. Da kan vi finne et uttrykk for tiden og sette den inn i en annen formel. Jeg velger å starte med fartsformelen:
vv
Her har jeg et uttrykk for t som jeg setter inn i veiformel 1:
aa
Her har vi den tidløse formel 4.

Gjenstander som snur

Veiformel 2 kan for eksempel brukes til å finne akselerasjonen til en kule som triller nedover et skråplan, med v,null lik null. Men hvordan skal vi gjøre det når vi sender en kule oppover skråplanet?

Hvis kula triller oppover 2 meter før den snur og triller tilbake til utgangspunktet, så er det viktig å få med seg at posisjonen altså strekningen s er lik null. Strekningen er altså lik posisjonen. Du kan se for deg en tallinje med kula i 0. Så triller den til to og tilbake igjen til null. Dette er da s. Hvis du vil finne den tilbakelagte veilengden må du bruke en annen måte. Når vi driver med gjenstander som snur, så er det viktig å velge seg en positiv retning, og holde seg til den. Det betyr at når kula beveger seg i positiv retning, så er farten positiv, og motsatt i negativ retning. Merk at hvis positiv retning er oppover så vil akselerasjonen alltid være negativ. Så hvis vi triller kula oppover med v,null lik 2 m/s, og med en akselerasjon på -1 m/s/s så vil kula etter t=1 ha en fart på 1 m/s, og når t=2 vil den stoppe og snu. Når den triller nedover vil farten øke, men i negativ retning, så når t=10, så vil v=-8 m/s. Dette er fult mulig fordi kula har en fart på 8 m/s, bare i negativ retning. Fortegnet på akselerasjonen er veldig viktig å huske på.

Fritt fall

Når et objekt, si en maiskolbe, slippes i et lufttomt rom, så vil den alltid falle med lik hastighet, og ha lik akselerasjon. Det samme gjelder bomullsdotter og blylodd. Grunnen til at ting faller med ulik hastighet til vanlig, er luftmotstanden. Det å regne med den er ganske avansert, så nå nøyer vi oss med å se bort i fra den.

Den akselerasjonen en gjenstand har når den faller fritt, kalles tyngdeakselerasjonen, med bokstaven g. Den varierer på ulike steder på jorda, så mye som fra 9,78 til 9,83. Men i Norge bruker vi g lik 9,81 m/s/s. Så i alle beregninger med et objekt i fritt fall, kan du med en gang føre opp a=g=9,81 m/s/s.

Hvis du kaster en ball opp i lufta, og beregner hvilken tid ballen er, si, 3 meter over bakken, så vil du få to svar, for tiden når ballen er på vei opp og på vei ned. Dette gjelder også for gjenstander som snur.